Nur wenige geometrische Formen sind so vielfältig wie Polygone. Dazu gehören das bekannte Dreieck, Quadrat und Fünfeck, aber das ist nur der Anfang.
In der Geometrie ist ein Polygon jede zweidimensionale Form, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
- besteht aus drei oder mehr geraden Linien
- ist geschlossen ohne Öffnungen oder Unterbrechungen in der Form
- hat Linienpaare, die sich an den Ecken oder Scheitelpunkten verbinden, wo sie Winkel bilden
- Hat eine gleiche Anzahl von Seiten und Innenwinkeln
Zweidimensional bedeutet flach wie ein Blatt Papier. Würfel sind keine Polygone, weil sie dreidimensional sind. Kreise sind keine Polygone, weil sie keine geraden Linien enth alten.
Eine spezielle Polygonart kann Winkel haben, die nicht alle gleich sind. In diesem Fall spricht man von einem irregulären Polygon.
Über Polygone
Der Name Polygon kommt von zwei griechischen Wörtern:
- Poly, was viele bedeutet
- Gon, was bedeutet Winkel
Formen, die Polygone sind
- Trigon (Dreieck): 3 Seiten
- Tetragon (Quadrat): 4 Seiten
- Fünfecke: 5 Seiten
- Hexagon: 6 Seiten
- Heptagon: 7 Seiten
- Achtecke: 8 Seiten
- Nonagon: 9 Seiten
- Zehneck: 10 Seiten
- Undecagon: 11 Seiten
- Zwölfeck: 12 Seiten
Wie Polygone benannt werden
Die Namen der einzelnen Polygone leiten sich aus der Anzahl der Seiten bzw. Ecken ab, die die Form besitzt. Polygone haben die gleiche Anzahl an Seiten und Ecken.
Der gebräuchliche Name für die meisten Polygone ist das griechische Präfix für "Seiten", das an das griechische Wort für Ecke (gon) angehängt ist.
Beispiele hierfür für fünf- und sechsseitige regelmäßige Polygone sind:
- Penta (griechisch für fünf) + gon= fünfeck
- Hexa (griechisch für sechs) + Eck= Sechseck
Es gibt Ausnahmen von diesem Namensschema. Vor allem bei Wörtern, die häufiger für einige Polygone verwendet werden:
- Triangle: Verwendet das griechische Präfix Tri, aber statt des griechischen gon das lateinische anglewird verwendet. Trigon ist der korrekte geometrische Name, wird aber selten verwendet.
- Viereck: Abgeleitet von der lateinischen Vorsilbe quadri, bedeutet vier, angehängt an das Wort seitlich,, ein anderes lateinisches Wort, das Seite . bedeutet
- Square: Manchmal wird ein vierseitiges Polygon (ein Quadrat) als Quadrangle oder bezeichnet. Tetragon.
N-Gons
Polygone mit mehr als 10 Seiten werden selten angetroffen, folgen aber der gleichen griechischen Namenskonvention. Ein 100-seitiges Polygon wird also als hectogon. bezeichnet.
In der Mathematik werden Fünfecke jedoch manchmal bequemer als n-Ecke: bezeichnet
- 11-Eck: Hendecagon
- 12-Eck: Zwölfeck
- 20-Eck: Ikosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
In der Mathematik werden N-Ecke und ihre griechischen Gegenstücke synonym verwendet.
Polygonlimit
Theoretisch kann ein Polygon beliebig viele Seiten haben.
Wenn die Größe der Innenwinkel eines Polygons größer und die Länge seiner Seiten kürzer wird, nähert sich das Polygon einem Kreis, aber es kommt nie ganz dort an.
Polygone klassifizieren
Regelmäßige vs. unregelmäßige Polygone
Polygone werden danach klassifiziert, ob alle Winkel oder Seiten gleich sind oder nicht.
- Regelmäßiges Vieleck: Alle Winkel sind gleich groß und alle Seiten gleich lang.
- Unregelmäßiges Vieleck: Hat keine gleich großen Winkel oder Seiten gleicher Länge.
Konvexe vs. konkave Polygone
Eine zweite Möglichkeit, Polygone zu klassifizieren, ist die Größe ihrer Innenwinkel.
- Konvexe Vielecke: Haben keine Innenwinkel größer als 180°.
- Konkave Polygone: haben mindestens einen Innenwinkel, der größer als 180° ist.
Einfache vs. Komplexe Polygone
Eine andere Art, Polygone zu klassifizieren, ist die Art und Weise, wie sich die Linien schneiden, die das Polygon bilden.
- Einfache Polygone: Die Linien verbinden oder schneiden sich nur einmal - an den Eckpunkten.
- Komplexe Polygone: Die Linien schneiden sich mehr als einmal.
Die Namen komplexer Polygone unterscheiden sich manchmal von denen einfacher Polygone mit der gleichen Seitenzahl.
Zum Beispiel:
- Ein regelmäßig geformtes Sechseck ist ein sechsseitiges, einfaches Vieleck.
- Ein sternförmiges Hexagramm ist ein sechsseitiges, komplexes Polygon, das durch Überlappung zweier gleichseitiger Dreiecke entsteht.
Regel für die Summe der Innenwinkel
In der Regel jedes Mal, wenn eine Seite zu einem Polygon hinzugefügt wird, wie zum Beispiel:
- Vom Dreieck zum Viereck (drei zu vier Seiten)
- Vom Fünfeck zum Sechseck (fünf bis sechs Seiten)
zu der Summe der Innenwinkel werden weitere 180° addiert.
Diese Regel kann als Formel geschrieben werden:
(n - 2) × 180°
wobei n gleich der Anzahl der Seiten des Vielecks ist.
Die Summe der Innenwinkel für ein Sechseck kann also mit der Formel ermittelt werden:
(6 - 2) × 180°=720°
Wie viele Dreiecke hat dieses Polygon?
Die obige Innenwinkelformel wird abgeleitet, indem man ein Polygon in Dreiecke teilt, und diese Zahl kann mit der Berechnung gefunden werden:
n - 2
In dieser Formel ist n gleich der Anzahl der Seiten des Vielecks.
Ein Sechseck (sechs Seiten) kann in vier Dreiecke (6 - 2) und ein Zwölfeck in 10 Dreiecke (12 - 2) unterteilt werden.
Winkelgröße für regelmäßige Polygone
Für regelmäßige Polygone, in denen alle Winkel die gleiche Größe und Seiten die gleiche Länge haben, kann die Größe jedes Winkels in einem Polygon berechnet werden, indem die Gesamtgröße der Winkel (in Grad) durch die Gesamtzahl dividiert wird von Seiten.
Bei einem regelmäßigen sechsseitigen Sechseck ist jeder Winkel:
720° ÷ 6=120°
Einige bekannte Polygone
Bekannte Polygone sind:
Binder
Dachbinder sind oft dreieckig. Abhängig von der Breite und Neigung des Daches kann der Fachwerkträger gleichseitige oder gleichschenklige Dreiecke enth alten. Aufgrund ihrer großen Festigkeit werden Dreiecke beim Bau von Brücken und Fahrradrahmen verwendet. Sie sind prominent im Eiffelturm.
Das Pentagon
Das Pentagon - das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums - hat seinen Namen von seiner Form. Das Gebäude ist ein fünfseitiges, regelmäßiges Fünfeck.
Startseite
Ein weiteres bekanntes fünfseitiges regelmäßiges Fünfeck ist die Home Plate auf einem Baseball-Diamanten.
Das falsche Pentagon
Ein riesiges Einkaufszentrum in der Nähe von Shanghai, China, ist in Form eines regulären Fünfecks gebaut und wird manchmal das falsche Pentagon genannt.
Schneeflocken
Jede Schneeflocke beginnt als Sechseck, aber Temperatur und Feuchtigkeit fügen Zweige und Ranken hinzu, sodass jede einzelne anders aussieht.
Bienen und Wespen
Natürliche Sechsecke umfassen auch Bienenstöcke, in denen jede Zelle in einer Wabe, die die Bienen bauen, um Honig aufzunehmen, sechseckig ist. Auch die Nester der Papierwespen enth alten sechseckige Zellen, in denen sie ihre Jungen aufziehen.
Damm des Riesen
Sechsecke findet man auch im Giant's Causeway im Nordosten Irlands. Es ist eine natürliche Felsformation, die aus etwa 40.000 ineinandergreifenden Bas altsäulen besteht, die entstanden sind, als die Lava eines alten Vulkanausbruchs langsam abgekühlt wurde.
Das Achteck
Das Octagon – der Name für den Ring oder Käfig, der in Kämpfen der Ultimate Fighting Championship (UFC) verwendet wird – hat seinen Namen von seiner Form. Es ist ein achtseitiges regelmäßiges Achteck.
Stoppschilder
Das Stoppschild - eines der bekanntesten Verkehrszeichen - ist ein weiteres achtseitiges regelmäßiges Achteck. Obwohl die Farbe, der Text oder die Symbole auf dem Schild variieren können, wird die achteckige Form für das Stoppschild in vielen Ländern auf der ganzen Welt verwendet.